Geçtiğimiz günlerde TV’de denk geldikçe severek izlediğim “Kim Milyoner Olmak İster” yarışmasına başvurdum. Başvurduğumdan beri de “ben olsam ne yaparım?” diye düşünüyorum. Ezelden beridir yarışmacıların -her nedense- 60.000 sorusuna takıldıklarında doğru stratejinin ne olduğunu hesaplamaya niyetliydim, başvurunca da oturup hesaplayayım dedim.

Olasılıksal problemlerde strateji belirlemek için yapılan hesaplamalar çok basittir. Bu hesaplamalarla amaçladığımız şey “oyun değerini” bulmaktır. Daha evvel oyun değerinden şu yazımda bahsetmiştim. Burada da kısaca bahsedeyim: Bir oyunun değeri, o oyunu getirisiyle olasılığının çarpımıdır. Basitçe örneklemek gerekirse: Yazı Tura oyunu oynuyorsanız ve kazanınca size 50 TL vaat ediliyorsa, kazanma olasılığınız 0,50, dolayısıyla da oyunun değeri 25 TL’dir. Klasik iktisat teorisine göre böyle bir oyuna giriş parası 25 TL’den azsa girilir. Değilse girilmez.

Peki bu soruya gelindiğinde yanıt kesin olarak bilinmiyorsa ne yapmalı? Hangi hareket mantıklı olur? Bilmediğimiz bir soruda şansımızı denemek mantıklı mıdır?

Önce doğru stratejinin ne olduğunu üç senaryoya göre belirlemeye çalıştım. Senaryolar şöyleydi:

1. Yarı yarıya joker hakkımızın bulunduğu (veya iki seçeneğin olmadığından kesin olarak emin olduğumuz)
2. Tek bir seçeneği kesinlikle eleyebildiğimiz (yani üç seçenek üzerinde düşündüğümüz)
3. Hiçbir seçeneği eleyemediğimiz

Bunu yaparken de sadece mevcut soruya odaklanarak yapmıştım ilk önce. Oysa bir soru bilinirse, devamında daha büyük değerli sorular için yarışmaya devam ediliyordu. Bunu da hesaba katınca karşıma ilginç bir sonuç çıktı: Bu yarışmada neredeyse her durumda cevabı sallayarak ilerlemek mantıklı. Evet yanlış duymadınız. Olasılık teorisine göre CEVABI BİLMİYORSANIZ DA SALLAMANIZ GEREKİR!

Öncelikle hiçbir joker olmadığı kabulüyle tüm soruları sallayarak ilerlemenin değerlerini bir tablo halinde çıkardım:

Tabloyu açıklamak gerekirse:

Tüm sorular sallandığında mevcut sorudan ve sonraki sorulardan gelenler (DOĞRU TUTARSA 1/4) satırında bulunuyor (kavun içi).

Yanlışsa (Ki bunun olasılığı 3/4) son barajın değeri elde ediliyor. İki baraj olduğundan 3. sorudan itibaren bu değer 750 TL, 8. sorudan itibarense 11.250 TL.

Bu ikisini toplayarak TOPLAM BEKLEN DEĞER’i buluruz. Bu değer ÇEKİLME DEĞERİ’nden büyükse yarışmaya devam edilir. Sadece 5. ve 6. sorularda küçük bir farkla ÇEKİLME DEĞERİ daha yüksek. Eğer elimizde jokerler bulunduğu düşünülürse bu sorularda da devam etmek mantıklı olacaktır.

Şimdi söylediklerimi daha iyi anlatabilmek için 60.000 değerli soruyla karşılaşınca strateji belirleme hesaplarını detaylı olarak göstereyim. Birinci senaryomuz: Şıklar hakkında hiçbir fikrimiz yok.

İki seçenek vardır: Devam etme ya da Çekilme. Bu soruda çekilirseniz eğer 30.000 TL’lik çekinizi alır gidersiniz. Rasgele bir cevapla devam ederseniz ve bu doğru tutarsa (1/4 olasılık) 60.000 kazanırsınız. Bu ihtimain değeri 15.000 TL’dir. Eğer bilemezseniz (3/4), baraj olan 15.000 TL’ye dönersiniz. Bu ihtimal de bize 11.250 TL kazandırır. İkisi toplandığında oyunun BEKLENEN Değeri bulunur. Eğer sonraki soruları hesaba katmasaydık Çekilme (30.000) > Devam (26.250) olacaktı. Ne var ki yarışmaya devam edebilmek de önemli bir avantaj olduğundan sonraki soruları da hesaba katmalıyız. En kötü ihtimalle (hiçbirini bilemediğimiz ve sallamak zorunda kalacağımız ihtimali) yaptığım hesaplamları bir önceki tabloda vermiştim. Gördülüğü üzere, sonraki soruları da hesaba kattığımız için Devam değeri kesinlikle Çekilme değerinden yüksek oldu. Strateji şüphesiz DEVAM’dır.

Diğer senaryolar şöyle:

Eğer tek seçeneği eleyebiliyorsanız (“Ankara’da olmadığından eminim” gibi…) artık 3 seçenek arasından seçim yapıyorsunuz demektir. Eğer sonraki soruları hesaba katmasaydık Çekilme (30.000) = Devam (30.000) eşitliği olurdu. Devam ettiğinizde kazancınızı artırma şansınız olduğu için (ki bu şans 15.625 TL’ye karşılık geliyor) her halükarda devam etmenin karlı olduğu bu örnekte daha iyi anlaşılır.

Jokeriniz varsa zaten soru tadından yenmez! İşte yukarıdaki de iki seçenekli hareket senaryosu. Sonraki soruları hesaba katmsaydık bile 37.5000 > 30.000 eşitsizliğinden ötürü kesinlikle devam edilmesi gerektiği sonucuna varırdık. Katınca zaten fark devasa hale geldi.

Sonuç ve Azalan Marjinal Fayda

Elbette bu türden bir hesaplama “marjinal fayda” kavramını dışarıda bırakır. Örneğin: 250.000 TL cepte ve 1.000.000’luk soruya geldiniz. Yanıt ve seçenekler hakkında da hiçbir fikriniz yok. Tablomuza göre çekilme değeri 250.000. Oysa devam etmenin değeri 261.250 TL. Buradaki ekstra 11.250 TL’nin (ya da kazanmanız halinde alacağınız 750.000 TL’nin) sizin için hiç yoktan 250.000 kazanmaktan daha az değeri olabilir. Yani 250.000 TL’yi 1.000.000 TL yaparak dört katına çıkarmak, bu kazancın sizin için olan faydasını da 4 katına çıkaracak diye bir kaide yok. Muhtemelen son iki soruda ben de riske atmazdım.

Az önceki senaryoyu da bu bağlamda ele alırsak: Bazılarımız için 15.000 TL’lik barajla 30.000 TL’lik çekilme arasındaki marjinal fayda farkı çok yüksek olabilir (Birisi 15 aylık kazancınıza, birisi 30 aylık kazancınıza denk geliyor olabilir). Bu nedenle GARANTİ bir 15.000 TL’ye doğal olarak sıcak bakabilir. Ancak ayda 15.000 TL kazanan birisi için bu marjinal fayda farkı o kadar önemli olmayabilir.

Yani önünde sonunda nasıl davranacağımızı “azalan marjinal fayda” kavramı belirler. Ancak bunu da tayin edebilmek için yine de hesap yapabilme, veyahut “finansal okur yazarlık” kavramının önemli olduğunu düşünüyorum.